Matemática do BETÃO: Teoria das MATRIZES / 2ºano

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1)	a(1,2)	...	a(1,n)
a(2,1)	a(2,2)	...	a(2,n)
...	...	...	...
a(m,1)	a(m,2)	...	a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é mxn.

2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento a_ij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)] mxn.

4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

6. Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas diferente do número de colunas, i.e., m≠n.

7. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

8. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

9. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.

10. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.

11. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

12. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

13. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é: a(i,j) = b(i,j) para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1	0
3	4

x-1	y-1
x+y	x²

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por: c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-23	10
7	9

10	5
8	9

-13	15
15	18

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0

Multiplicação de número real por matriz

Seja k um número real e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por: c(i,j) = k. a(i,j) para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4.

-2	10
7	9

-8	-40
28	36

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em S_mr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim: c₂₃ = a₂₁ b₁₃ + a₂₂ b₂₃ + a₂₃ b₃₃ + a₂₄ b₄₃

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄
a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄

b₁₁	b₁₂	b₁₃	b₁₄
b₂₁	b₂₂	b₂₃	b₂₄
b₃₁	b₃₂	b₃₃	b₃₄
b₄₁	b₄₂	b₄₃	b₄₄

c₁₁	c₁₂	c₁₃	c₁₄
c₂₁	c₂₂	c₂₃	c₂₄
c₃₁	c₃₂	c₃₃	c₃₄
c₄₁	c₄₂	c₄₃	c₄₄

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1	2	3
2	4	6
3	6	9

1	2
3	5
7	9

M2: Distributividade da soma à direita: A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda: (A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade: A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0	1
0	0

0	2
0	0

0	0
0	0

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0	1
0	0

0	5
0	0

0	2
0	0

0	5
0	0

mas as matrizes A e B são diferentes.

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz A^t = [a(j,i)] e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de A^t.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz: (A^t)^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz: (kA)^t = k (A^t)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes:
(A + B)^t = A^t + B^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada: (A B)^t = B^t A^t

Matrizes simétricas e anti-simétricas

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que: A^t = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que: A^t = -A
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