Geometria Analítica - Estudo do Ponto / 3º ano

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a²=b²+c².

Dados P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]² = [d(P,R)]² + [d(Q,R)]²

Como:

[d(P,R)]² = | x₁ - x₂| ² = (x₁ - x₂)²

e também

[d(Q,R)] ² = | y₁ - y₂| ² = (y₁ - y₂)²

então

Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:

Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), pode-se obter o Ponto Médio M=(x_m,y_m) que está localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

x_m = (x₁ + x₂)/2,    y_m = (y₁ + y₂)/2

Observação: O BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) e C=(x₃,y₃), é:

G=(   (x₁+x₂+x₃)/3  ,   (y₁+y₂+y₃)/3 )

EXEMPLO: O BARICENTRO de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(3,9), B=(-5,8) e C=(8,-2), é:

G=(   (3-5+8)/3  , (9+8-2)/3 )  ou seja G= (2, 3)