Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
a(1,1) | a(1,2) | ... | a(1,n) |
a(2,1) | a(2,2) | ... | a(2,n) |
... | ... | ... | ... |
a(m,1) | a(m,2) | ... | a(m,n) |
Definições básicas sobre matrizes
1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é mxn.
2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)] mxn.
4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
6. Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas diferente do número de colunas, i.e., m≠n.
7. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
8. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
9. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
10. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
11. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
12. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
13. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos. Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é: a(i,j) = b(i,j) para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:
Soma de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por: c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0 Multiplicação de número real por matriz
Seja k um número real e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por: c(i,j) = k. a(i,j) para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:
Multiplicação de matrizes
Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:
c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)
para todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.
Assim: c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43
Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.
a11 | a12 | a13 | a14 |
a21 | a22 | a23 | a24 |
a31 | a32 | a33 | a34 |
a41 | a42 | a43 | a44 |
| × |
b11 | b12 | b13 | b14 |
b21 | b22 | b23 | b24 |
b31 | b32 | b33 | b34 |
b41 | b42 | b43 | b44 |
| = |
c11 | c12 | c13 | c14 |
c21 | c22 | c23 | c24 |
c31 | c32 | c33 | c34 |
c41 | c42 | c43 | c44 |
|
Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Propriedades da multiplicação de matrizes
Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:
M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:
M2: Distributividade da soma à direita: A (B+C) = A B + A C
M3: Distributividade da soma à esquerda: (A + B) C = A C + B C
M4: Associatividade: A (B C) = (A B) C
M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:
M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
mas as matrizes A e B são diferentes. A transposta de uma matriz e suas propriedades
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz At = [a(j,i)] e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.
Propriedades das matrizes transpostas
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz: (At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz: (kA)t = k (At)
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes:
(A + B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada: (A B)t = Bt At Matrizes simétricas e anti-simétricas
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que: At = A
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que: At = -A
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