Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.

Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R₊^* tal que ƒ(x)= a^x em que a ∈ R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o ^x de expoente.
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

http://okuadro.com/page/funcao-exponencial

1. Potência de Número Natural - Introdução
2. Potência de Número Natural - Propriedades
3. Potência de Número Inteiro Negativo
4. Raiz n-ésima Aritmética - Introdução
5. Raiz n-ésima Aritmética - Propriedades
6. Função Exponencial - Introdução
7. Função Exponencial - Gráficos
8. Função Exponencial - Propriedades
9. Equações Exponenciais - Aula 1
10. Equações Exponenciais - Aula 2
11. Inequações Exponenciais - Aula 1
12. Inequações Exponenciais - Aula 2
13. Inequações Exponenciais - Aula 3

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CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM

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ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS

Área é a denominação dada à medida de uma superfície.

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados. Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base. A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo: S = b.h/2  A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:
 S= (l².V2)/4 Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo. Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo: S = b.h 

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.  Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango. Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.  Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula: S=(dxD)/2

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado. O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais. Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo: S= bxh. Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo: S = l²Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango: S=(DxD)/2 ou simplesmente S=D²/2

Cálculo da Área do Retângulo

Todo Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todos os seus ângulos internos são iguais a 90º), cujos lados opostos são iguais. Se todos os seus lados forem iguais, então teremos um retângulo especial chamado quadrado. Por ser  um tipo particular de paralelogramo, o cálculo da área do retângulo é realizado da mesma forma deste: S= bxh

Acesse AQUI para conhecer mais sobre áreas de figuras planas

Conheça também o método de cálculo da ÁREA de um círculo, setor circular e coroa circular. Anote no caderno para estudos posteriores, ok!

MATEMÁTICA FINANCEIRA

A MATEMÁTICA FINANCEIRA utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral. Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.

CONCEITOS

§  Principal ou Capital (C): Valor que está sendo emprestado, investido ou devido inicialmente.

§  Juro (J): Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento.

§  Taxa de Juro(i): É a taxa, em porcentagem, que se paga ou se recebe pelo “aluguel” do dinheiro. É sempre aplicada em relação a um intervalo de tempo, que pode ser em dias, meses, anos, etc.

§  Prazo(n): É o tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. O prazo e a taxa devem ter sempre a mesma unidade de medida de tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo será em meses; se a taxa for diária, o tempo será em dias; se a taxa for anual, o tempo será em anos; etc.

§  Montante (M): É a soma do Capital com o Juro em um determinado momento.

§  Parcela ou Pagamento: Valores parciais pagos pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

JUROS COMPOSTOS

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é: 

M = C. (1 + i )^ne também M = C + J

JUROS SIMPLES

Os problemas tratados pela matemática financeira raramente consideram o regime de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é:

 M = C. (1 + i.n )e também  M = C + J

RELAÇÃO ENTRE JURO, CAPITAL, TAXA E TEMPO

 J = Cit

NOTA: Em todas as fórmulas acima é bom que se tenha a taxa escrita em sua forma decimal.
 Exemplo: 5% = 0,05  55% = 0,55    5,5% = 0,055

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 Depois exploraremos as questões 
destes testes em sala de aula. 

Fique atento, OK!

Princípios da ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA

         Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

        Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

OBSERVAÇÃO: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

ARRANJOS

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples:

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

FÓRMULA:  As(m,p) = m!/(m-p)!  

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

EXEMPLO: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento, mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição:

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

FÓRMULA:   Ar(m,p) = mp .

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

EXEMPLO: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2.  Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional:

Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

FÓRMULA:   N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

EXEMPLO: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

PERMUTAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples:

São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

FÓRMULA: Ps(m) = m!

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

EXEMPLO: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição:

Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

FÓRMULA: Se m=m1+m2+m3+...+mn,

Então Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama:

Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

EXEMPLO: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,AATRRA,AARRTA,
ARAART, ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular:

Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

FÓRMULA: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

EXEMPLO: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

COMBINAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples:

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

FÓRMULA: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

EXEMPLO: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição:

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

FÓRMULA: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

EXEMPLO: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}